十字架模型

【理论题目】正方形 ABCD 边长为 10，E 在 BC 上，F 在 CD 上，且 BE = CF。AE 与 BF 交于点 P。求证：AE ⊥ BF 且 AE = BF。
【思路】在 △ABE 与 △BCF 中：AB = BC（正方形的边），∠ABE = ∠BCF = 90°，BE = CF（已知）， 由 SAS 得 △ABE ≌ △BCF，故 AE = BF，且 ∠BAE = ∠CBF。 设 AE 与 BF 交于 P，则 ∠APB = 180° − (∠PAB + ∠PBA) = 180° − (∠BAE + ∠ABF)， 而 ∠BAE = ∠CBF，∠CBF + ∠ABF = 90°，所以 ∠APB = 90°，即 AE ⊥ BF。
【结论】BE = CF ⟹ AE = BF 且 AE ⊥ BF——全等三角形旋转 90° 的"十字架"。