海盗埋宝模型（两侧等边三角形连线）

【理论题目】平地上有两棵树 A、B。以线段 AB 为公共边，在两侧各作等边 △ABC 与等边 △ABD（C、D 分居 AB 两侧）。设 M 为 CD 的中点。求证：M 与 AB 的中点重合；|CD| = √3·|AB|；且 CD ⊥ AB。
【思路】设 AB 中点为 N，AB 方向单位向量为 u，法向量为 n。等边三角形的高为 (√3/2)|AB|，且 C、D 到 AB 的距离都等于这个高、方向相反：C = N + (√3/2)|AB|·n，D = N − (√3/2)|AB|·n。两式相加得 C + D = 2N，故 CD 中点恰为 N；而 CD = C − D = √3·|AB|·n 沿法向，长度 √3·|AB|，方向垂直于 AB。
【结论】宝藏点 M 只取决于 AB 的中点：CD 中点 ≡ AB 中点，|CD| = √3·|AB|，CD ⊥ AB，与 A、B 位置无关。