线段旋转面积模型

【理论题目】线段 OP 长 r，一端固定于 O。OP 从起始位置绕 O 旋转角 θ 扫过一个区域，求证：扫过区域是扇形，其面积 S = ½r²θ（θ 为弧度），弧长 l = rθ，且 S = ½lr。
【思路】OP 上的每个点（距 O 为 ρ，0 ≤ ρ ≤ r）旋转 θ 各画出一段弧 ρθ； 所有弧"叠"起来正好填满扇形。把扇形看成无数细窄三角形的极限， 或直接由"弧长与圆心角成正比"得 l = rθ；再把扇形按半径切开拉直近似成三角形（底 l、高 r），得 S = ½lr = ½r²θ。
【结论】S = ½r²θ = ½lr：半径不变时，扫过面积与旋转角成正比。