直角三角形存在性(两垂线一圆)

【理论题目】已知两定点 A、B,动点 P 在直线 y = t0 上,问轨迹上是否存在点 P 使 △PAB 为直角三角形?求出所有满足条件的 P。
【思路】按直角顶点分类"两垂线一圆":① ∠P = 90° ⟹ P 在以 AB 为直径的圆上(圆心为 AB 中点,半径 |AB|/2),与 y = t0 相交需判别式 (|AB|/2)² − t0² ≥ 0,此时 px = (x_A+x_B)/2 ± √((|AB|/2)² − t0²);② ∠A = 90° ⟹ P 在过 A 垂直于 AB 的直线上(AB 水平时即 x = x_A);③ ∠B = 90° 同理 x = x_B。合并去重,排除 P 与 A、B 重合或 P、A、B 共线(t0 = 0)的退化。
【结论】直角存在性 = 过 A、B 的两条垂线 + 以 AB 为直径的圆与轨迹直线的交点;解的个数由判别式 (|AB|/2)² − t0² 决定,最多 4 个。