等腰三角形存在性(两圆一线)

【理论题目】已知两定点 A、B,动点 P 在直线 y = t0 上,问轨迹上是否存在点 P 使 △PAB 为等腰三角形?求出所有满足条件的 P。
【思路】分类讨论"两圆一线":① PA = PB ⟹ P 在 AB 的中垂线上,与 y = t0 恰有一个交点 x = (x_A+x_B)/2;② AP = AB ⟹ P 在以 A 为圆心、AB 为半径的圆上,与直线相交需判别式 AB² − t0² ≥ 0,此时 px = x_A ± √(AB² − t0²);③ BP = BA 同理,px = x_B ± √(AB² − t0²)。合并三类交点并去重,排除 P 与 A、B 重合或 P、A、B 共线(t0 = 0)的退化。
【结论】等腰存在性 = 中垂线 + 两个圆与轨迹直线的交点;解的个数由判别式 AB² − t0² 与退化条件决定,最多 5 个。