初中函数动图模型

1

点坐标特征

象限符号 · 三对称点 · 距离=|x|,|y| 象限判定 · 对称点互拖

2

正比例函数的图象与性质

y ÷ x ≡ k（过原点直线） 斜率三角形 · k 往返旋转 3

正比例函数 k 的大小比较

x=1 处 y₁−y₂ ≡ k₁−k₂ 双直线 · 高度差对比 4

一次函数的图象与性质

交 (0,b)、(−b/k,0) 恒在线上 k、b 双滑 · 象限增减 5

一次函数与不等式

kx+b>0 ⇔ x轴上方 · kx₀+b≡0 解集高亮 · 分界点扫描 6

一次函数的平移

左加右减 · 上加下减（斜率不变） 原图虚线 + 平移把手 7

一次函数的对称

x轴/y轴/原点 三模式系数映射 对称元素高亮 · P/P′ 验证

8

二次函数顶点式的图象与性质

y=a(x−h)²+k 顶点 (h,k) 三参联动 · 参考抛物线 9

二次函数的平移变换——顶点式

新顶点 = 原顶点 + (m,n) 直角路径 · a 不变 10

二次函数的平移变换——一般式

B=b−2m · C=c+m²−bm+n 先配方再平移 11

二次函数的对称变换——顶点式

顶点镜像 · |a| 不变 三模式 · P′ 代入恒成立 12

二次函数的对称变换——一般式

系数符号映射表 取样点滑动验证 13

抛物线与直线的公共点

Δ 判交点 · 韦达恒等 相交→相切→相离扫描

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割补法

矩形−三直角 ≡ 鞋带公式 坐标三角形面积 15

等积法

同底等高 S ≡ ½·AB·h C 沿平行线滑动

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等腰三角形存在性

两圆一线 · 最多 5 解 解析求全部解+绿圈标注 17

直角三角形存在性

两垂线一圆 · 最多 4 解 直径圆 Thales 18

平行四边形存在性

对角线互相平分 · 三候选 D=A+C−B 型公式 19

边邻角存在性

∠PAB=θ 双射线交点 已知边+邻定角 20

边对角存在性

∠APB=θ 辅助圆交点 定边定角隐圆

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反比例函数的图象与性质

x·y ≡ k · 中心对称 双支曲线 · P 沿线滑 22

反比例函数与不等式

k/x>b ⇔ 图象在线上方 解集分类 · 交点 k/b 23

反比例函数 k 的几何意义——单k单点型

S矩形 ≡ |k| · S△ ≡ |k|/2 垂线矩形恒定 24

反比例函数 k 的几何意义——单k双点型

两矩形等积 · S₁=S₂ 蝴蝶形等积 25

反比例函数 k 的几何意义——双k型

同 x 处 y₁:y₂ ≡ k₁:k₂ 双曲线对比

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二次根式的性质

√a·√b ≡ √(ab)，(√n)² ≡ n 面积守恒 · 平方还原

1

有理数：正数、负数、数轴与相反数

a 的相反数是 −a · |a| 表示 a 到原点的距离，恒 ≥ 0 拖动 a、b，观察相反数关于原点对称、绝对值表示 2

有理数的运算：加减乘除与乘方

同号相乘得正，异号相乘得负 · 负数的偶次方为正，奇次方为负 拖动 a、b，观察同号相加、异号相减以及符号规律 3

整式的加减：同类项与合并同类项

合并同类项：字母和指数不变，系数相加减 拖动系数，观察同类项如何合并——字母部分不变，系 4

一元一次方程：移项与解方程

移项变号 · 等式两边同加减同乘除相同的数，等式仍成立 拖动 x，观察天平平衡时即为方程的解 5

实数：平方根、立方根与无理数

√a 表示算术平方根（≥0） · √(a×b)=√a×√b · 无理数 = 无限 拖动 a、b，观察正方形面积与边长的平方根关系： 6

二元一次方程组：两条直线的交点即解

方程组的解 ⇔ 两条直线交点的坐标 拖动 k、b，观察两条直线交点的坐标如何同时满足 7

不等式与不等式组：解集与数轴表示

两边同乘/除负数，不等号方向要改变 拖动 a、b，观察不等式解集在数轴上的表示（空心 8

数据的收集整理与描述：频数与频率

频率 = 频数 ÷ 数据总数 · 各频率之和 ≡ 1 拖动各类频数，观察频率 = 频数 ÷ 总数，且各 9

整式的乘法与因式分解：平方差与完全平方

完全平方：(a±b)² = a² ± 2ab + b² · 平方差：a² − b 拖动两边长度，观察大正方形如何拆分出平方差与完全 10

分式：基本性质与约分通分

分式基本性质：分子分母同乘/除不为 0 的整式，值不变 · 分母 ≠ 0 拖动分子分母，观察分式的值随约分/通分如何变化 11

数据的分析：平均数、中位数、众数与方差

平均数反映集中趋势，方差反映波动大小（越小越稳定） 拖动四组数据，观察平均数与中位数如何随数据变化 12

一元二次方程与抛物线：根与 x 轴交点

Δ > 0 两不等实根 · Δ = 0 两相等实根 · Δ < 0 无实根 拖动 k、b，观察抛物线与 x 轴的交点即方程的 13

概率初步：频率的稳定性与大数法则

P(等可能事件) = 该事件结果数 ÷ 所有等可能结果数 拖动试验次数，观察实测频率如何稳定趋向理论概率