数学 · 交互动图

1

双中点模型

MN = ½AB 线段 · 中点 2

双角平分线模型

∠MON = ½∠AOB 角 · 平分线 3

中垂线模型

PA = PB 垂直平分线 4

角分线模型

d₁ = d₂ 角平分线性质

5

两平行线间的拐点

∠APC = ∠A + ∠C 猪蹄模型 6

两平行线外的拐点

∠APC = ∠C − ∠A 铅笔头模型 7

平行线拐点加角平分线

∠AQC = ½∠APC 拐点 + 角平分线

8

高分模型

∠DAE = ½|∠B − ∠C| 高线 + 角平分线夹角 9

A字模型

α + β = 180° + ∠A 截线型 10

8字模型

∠A + ∠B = C + ∠D 对顶角型 11

飞镖模型

∠BDC = ∠A + ∠ABD + ∠ACD 凹四边形 12

三角形双角平分线模型

∠BPC = 90° + ½∠A 内心角 13

等分面积模型

S₁:S₂ = BD:DC 等高三角形 14

倍长中线模型

BE = AC 且 BE∥AC 中线延长全等 15

中位线模型

MN ∥ BC 且 MN = ½BC 中位线定理 16

逆等线模型

DF = EF 等腰三角形截线 17

奔驰模型

∠APB+∠BPC+∠CPA = 360° 三角形内点 18

维维亚尼模型

d₁+d₂+d₃ = 高 等边三角形内点 19

费马点模型

PA+PB+PC ≥ |CD| 120° 费马点 20

旁切圆模型

I到三边距离 = r_A 三角形旁切圆 21

A字相似模型

AD/AB = AE/AC = DE/BC 平行线截相似 22

8字相似模型

PA/PD = PC/PB = AC/BD X型相似 23

三角形内接四边形模型

s = a·h/(a+h) 内接正方形 24

母子模型

CD² = AD·DB 斜高母子相似 25

一线三等角相似模型

△ABC ∽ △CDE 三等角相似 26

手拉手相似模型

BD/CE = AB/AC 旋转位似 27

二倍角模型

DB=DC · AB²=AD·AC 角平分线+外角 28

12345模型

tan(α+β) = (n+m)/(nm−1) 网格拼角

29

一线三等角模型

△ABC ∽ △CDE K字三等高 30

手拉手模型

BD = CE 共顶点双等边 31

半角模型

EF = BE + DF 正方形45°半角 32

十字架模型

AE = BF 且 AE⊥BF 正方形十字 33

风车模型

EC = BG 且 EC⊥BG 双正方形手拉手 34

海盗埋宝模型

|CD| = √3·|AB| 且 CD⊥AB 双等边藏宝

35

中点四边形模型

EFGH 为平行四边形 · S=½S₀ 任意四边形中点 36

对边双中点四边形模型

EG、FH 互相平分 中点连线 37

垂美四边形模型

AB²+CD² = BC²+DA² 对角线垂直 38

翻折模型

BA′=BA · EA′=EA · ∠BA′E=90° 矩形折叠

39

圆周角定理

∠AOB = 2∠APB 圆心角与圆周角 40

婆罗摩笈多模型

CM = MD 圆内接+垂直对角线 41

对角互补模型

∠ABC + ∠ADC = 180° 共圆四边形 42

共斜模型

∠BAC = ∠BDC = 90° 共斜边双直角 43

平行弦模型

AC = BD 圆内平行弦 44

弓箭模型

弓内圆周角恒定 同弧圆周角 45

弦切角模型

弦切角 = ½弧 = 圆周角 切线与弦 46

阿基米德折弦模型

AF = FB + BC 弧中点垂足 47

圆幂定理模型

PA·PB = PC·PD = R²−OP² 相交弦 48

定边定角辅助圆模型

∠BAC ≡ α（A 在轨迹弧上） 隐圆轨迹 49

托勒密模型

AC·BD = AB·CD + BC·DA 圆内接四边形 50

阿氏圆模型

PA/PB ≡ k 阿波罗尼斯圆

51

弦图模型

c² = 4·½ab + (a−b)² 赵爽弦图 52

勾股树模型

每层面积和 = 底面积 分形勾股

53

将军饮马 · 两点一线

PA+PB ≥ |AB′| 轴对称展开 54

将军饮马 · 一点两线

周长 ≥ |P₁P₂| 双对称展开 55

将军饮马 · 两点两线

总长 ≥ |AB′| 两线双对称 56

将军饮马 · 两定点一定长

总长 ≥ |A₁′B|+d 平移+对称 57

将军饮马 · 三动点

PA+AB+BR ≥ |P′R′| 双对称折线 58

点圆最值模型

|OP|−R ≤ PQ ≤ |OP|+R 点与圆 59

线圆最值模型

PQ ≥ d(O,l) − R 线与圆 60

梯子模型

OM ≡ ½L 恒定 滑动梯子 61

蚂蚁爬行模型

√((rθ)²+h²) ≤ rθ+h 圆柱展开 62

定高定角模型

S ≡ ½·BC·h 恒定 定底定高 63

最大张角问题

∠APB ≤ ∠AP*B 切圆最大角 64

线段旋转面积模型

S = ½r²θ = ½lr 扇形扫面 65

瓜豆模型

|PO′| ≡ λR 主从联动轨迹 66

胡不归模型

PA+k·PB ≥ d(A,BM) 折线加权最值

1

几何图形初步：直线、射线、线段与角

两点之间线段最短 · 两点确定一条直线 拖动宽高，观察线段长度与角的度数变化 2

旋转：旋转中心、旋转角与中心对称

旋转前后图形全等 · 对应点到旋转中心的距离相等 拖动宽高，观察图形绕中心旋转后形状大小不变 3

投影与视图：三视图与投影

主视图、俯视图、左视图合称三视图 · 长对正、高平齐、宽相等 拖动宽高，观察简单几何体在不同方向投影下的形状变

1

点坐标特征

象限符号 · 三对称点 · 距离=|x|,|y| 象限判定 · 对称点互拖

2

正比例函数的图象与性质

y ÷ x ≡ k（过原点直线） 斜率三角形 · k 往返旋转 3

正比例函数 k 的大小比较

x=1 处 y₁−y₂ ≡ k₁−k₂ 双直线 · 高度差对比 4

一次函数的图象与性质

交 (0,b)、(−b/k,0) 恒在线上 k、b 双滑 · 象限增减 5

一次函数与不等式

kx+b>0 ⇔ x轴上方 · kx₀+b≡0 解集高亮 · 分界点扫描 6

一次函数的平移

左加右减 · 上加下减（斜率不变） 原图虚线 + 平移把手 7

一次函数的对称

x轴/y轴/原点 三模式系数映射 对称元素高亮 · P/P′ 验证

8

二次函数顶点式的图象与性质

y=a(x−h)²+k 顶点 (h,k) 三参联动 · 参考抛物线 9

二次函数的平移变换——顶点式

新顶点 = 原顶点 + (m,n) 直角路径 · a 不变 10

二次函数的平移变换——一般式

B=b−2m · C=c+m²−bm+n 先配方再平移 11

二次函数的对称变换——顶点式

顶点镜像 · |a| 不变 三模式 · P′ 代入恒成立 12

二次函数的对称变换——一般式

系数符号映射表 取样点滑动验证 13

抛物线与直线的公共点

Δ 判交点 · 韦达恒等 相交→相切→相离扫描

14

割补法

矩形−三直角 ≡ 鞋带公式 坐标三角形面积 15

等积法

同底等高 S ≡ ½·AB·h C 沿平行线滑动

16

等腰三角形存在性

两圆一线 · 最多 5 解 解析求全部解+绿圈标注 17

直角三角形存在性

两垂线一圆 · 最多 4 解 直径圆 Thales 18

平行四边形存在性

对角线互相平分 · 三候选 D=A+C−B 型公式 19

边邻角存在性

∠PAB=θ 双射线交点 已知边+邻定角 20

边对角存在性

∠APB=θ 辅助圆交点 定边定角隐圆

21

反比例函数的图象与性质

x·y ≡ k · 中心对称 双支曲线 · P 沿线滑 22

反比例函数与不等式

k/x>b ⇔ 图象在线上方 解集分类 · 交点 k/b 23

反比例函数 k 的几何意义——单k单点型

S矩形 ≡ |k| · S△ ≡ |k|/2 垂线矩形恒定 24

反比例函数 k 的几何意义——单k双点型

两矩形等积 · S₁=S₂ 蝴蝶形等积 25

反比例函数 k 的几何意义——双k型

同 x 处 y₁:y₂ ≡ k₁:k₂ 双曲线对比

26

二次根式的性质

√a·√b ≡ √(ab)，(√n)² ≡ n 面积守恒 · 平方还原

1

有理数：正数、负数、数轴与相反数

a 的相反数是 −a · |a| 表示 a 到原点的距离，恒 ≥ 0 拖动 a、b，观察相反数关于原点对称、绝对值表示 2

有理数的运算：加减乘除与乘方

同号相乘得正，异号相乘得负 · 负数的偶次方为正，奇次方为负 拖动 a、b，观察同号相加、异号相减以及符号规律 3

整式的加减：同类项与合并同类项

合并同类项：字母和指数不变，系数相加减 拖动系数，观察同类项如何合并——字母部分不变，系 4

一元一次方程：移项与解方程

移项变号 · 等式两边同加减同乘除相同的数，等式仍成立 拖动 x，观察天平平衡时即为方程的解 5

实数：平方根、立方根与无理数

√a 表示算术平方根（≥0） · √(a×b)=√a×√b · 无理数 = 无限 拖动 a、b，观察正方形面积与边长的平方根关系： 6

二元一次方程组：两条直线的交点即解

方程组的解 ⇔ 两条直线交点的坐标 拖动 k、b，观察两条直线交点的坐标如何同时满足 7

不等式与不等式组：解集与数轴表示

两边同乘/除负数，不等号方向要改变 拖动 a、b，观察不等式解集在数轴上的表示（空心 8

数据的收集整理与描述：频数与频率

频率 = 频数 ÷ 数据总数 · 各频率之和 ≡ 1 拖动各类频数，观察频率 = 频数 ÷ 总数，且各 9

整式的乘法与因式分解：平方差与完全平方

完全平方：(a±b)² = a² ± 2ab + b² · 平方差：a² − b 拖动两边长度，观察大正方形如何拆分出平方差与完全 10

分式：基本性质与约分通分

分式基本性质：分子分母同乘/除不为 0 的整式，值不变 · 分母 ≠ 0 拖动分子分母，观察分式的值随约分/通分如何变化 11

数据的分析：平均数、中位数、众数与方差

平均数反映集中趋势，方差反映波动大小（越小越稳定） 拖动四组数据，观察平均数与中位数如何随数据变化 12

一元二次方程与抛物线：根与 x 轴交点

Δ > 0 两不等实根 · Δ = 0 两相等实根 · Δ < 0 无实根 拖动 k、b，观察抛物线与 x 轴的交点即方程的 13

概率初步：频率的稳定性与大数法则

P(等可能事件) = 该事件结果数 ÷ 所有等可能结果数 拖动试验次数，观察实测频率如何稳定趋向理论概率

1

20以内数的认识：数一数、比大小、第几

数轴上位置越靠右越大 · 两数相差 = 它们之间的距离 拖动 a、b 两个点，在数轴上观察数的顺序、大小 2

20以内加减法：一共与还剩

一共 = a + b（向右），还剩 = a − b（向左） 拖动 a、b，观察"一共（a+b）"与"还剩（a 3

20以内进位加法：凑十法

凑十法：a + b = 10 + (b − (10 − a))，先凑十再加剩余 拖动 b，观察"a + b"如何通过凑十算出来（ 4

20以内退位减法：破十法

破十法：十几 − b = (10 − b) + 个位数字 拖动 b，观察"十几减几"如何拆成"10 减几再 5

100以内数的认识：十位与个位

两位数 = 十位的数 × 10 + 个位的数 拖动 a，在数轴上观察数的位置、十位与个位的组成 6

认识平面图形：长方形、正方形、圆、三角形

正方形是特殊的长方形（宽 = 高时） 拖动宽、高，观察长方形如何变正方形，以及各图形的 7

认识钟表：整时与半时

1 时 = 60 分 · 半时 = 30 分（分针指 6） 拖动宽高模拟时针分针的移动，理解整时与半时 8

分类与整理：用统计表记录数量

总数 = 各类数量之和 · 条形越高表示数量越多 拖动各类别的数量，观察汇总、比较多少与排序

9

100以内笔算加减法：进位与退位

进位加法：个位满十进一 · 退位减法：个位不够向十位借一当十 拖动 a、b，观察进位加法向右、退位减法向左的移 10

表内乘法：几个几与乘法口诀

a × b = b 个 a 相加 = a 个 b 相加（交换律） 拖动行数与列数，观察"几个几"如何变成乘法算式 11

表内除法：平均分

被除数 ÷ 份数 = 每份数（每份数 × 份数 = 被除数） 拖动每份数与份数，观察"平均分"与除法的关系 12

万以内数的认识：计数单位与数位

每相邻两个计数单位间的进率都是 10 拖动数 a、b，观察千位、百位、十位、个位的组成 13

长度单位：厘米与米

1 米 = 100 厘米 · 1 厘米 = 10 毫米 拖动长度，观察 1 米 = 100 厘米的换算关 14

角的初步认识：直角、锐角、钝角

锐角 < 直角(90°) < 钝角 < 平角(180°) 拖动高，观察角的大小如何变化以及直角的位置 15

平移与旋转：图形的运动

平移：方向不变 · 旋转：绕定点转动，角度改变 拖动宽高，观察图形在平移与旋转下的变化规律 16

数据的收集与整理：正字计数

总数 = 各类之和 · "正"字计数 = 5×完整正字数 + 余下笔画 拖动各项数量，观察统计表汇总与"正字计数法"

17

多位数乘一位数：竖式与进位

每一位：多位数 × 一位数，满十进一 拖动一位数 b，观察乘法结果的规律与进位 18

两位数乘两位数：分步乘积

ab × cd = ab×c×10 + ab×d（分步乘积再求和） 拖动两个因数，观察"面积模型"下乘积如何分块相加 19

除数是一位数的除法：试商与余数

被除数 = 除数 × 商 + 余数（0 ≤ 余数 < 除数） 拖动除数，观察"商"与"余数"的变化，验证余数小 20

分数的初步认识：几分之一与几分之几

a/b 表示把整体平均分成 b 份，取其中 a 份 拖动分母，观察"平均分成几份、取几份"的含义 21

小数的初步认识：十分之几与元角分

十分之几 = 零点几（分母 10 → 一位小数） 拖动小数，观察"十分之几"与小数的一一对应 22

三位数加减法：连续进位与退位

加法的验算：和 − 一个加数 = 另一个加数 拖动 a、b，观察三位数加减法的结果与验算 23

年月日与24时计时法

下午/晚上时刻 + 12 = 24 时计时法 · 闰年 2 月 29 天 拖动时刻，观察普通计时法与 24 时计时法的换算 24

四边形与周长：封闭图形一周的长度

长方形周长 = 2 × (长 + 宽) · 正方形周长 = 4 × 边长 拖动宽高，观察长方形、正方形周长的计算与变化 25

面积与面积单位：平方厘米

长方形面积 = 长 × 宽 · 1 平方分米 = 100 平方厘米 拖动宽高，观察长方形面积与面积单位的换算

26

三位数乘两位数：竖式与估算

三位数 × 两位数 = 三位数×(十位×10) + 三位数×个位 拖动因数，观察积的规模与估算方法 27

除数是两位数的除法：四舍五入试商

被除数 = 除数 × 商 + 余数（0 ≤ 余数 < 除数） 拖动除数，观察试商方法与余数的变化 28

四则混合运算与运算律：简便计算

乘法分配律：a×(b+c) = a×b + a×c 拖动因数，观察乘法分配律如何把计算变简单 29

小数的意义与加减法：小数点对齐

小数加减法：小数点对齐，位数不够补 0 拖动两个小数，观察小数点对齐后相加减的过程 30

大数的认识：数位顺序与改写

改写：去掉末尾 4 个 0 加"万"，去掉 8 个 0 加"亿" 拖动数，观察万级、亿级数位以及改写为"万""亿" 31

负数的初步认识：正负数与 0

负数 < 0 < 正数 · 数轴上越靠左越小 拖动 a、b，观察正数、负数和 0 在数轴上的位 32

平行与垂直：同一平面内两直线的位置关系

平行：同一平面内不相交 · 垂直：相交成直角 拖动宽高，观察矩形对边平行、邻边垂直的关系 33

平行四边形和梯形：底与高

平行四边形面积 = 底 × 高 拖动底和高，观察平行四边形的形状变化 34

三角形：三边关系与内角和

两边之和 > 第三边 · 内角和 ≡ 180° 拖动宽高，观察直角三角形的三边关系与内角和 35

轴对称图形：对称轴与补全

沿对称轴对折，两侧完全重合 拖动宽高，观察长方形、正方形的对称轴数量 36

条形统计图：一格表示几

条形统计图能直观比较数量多少 拖动各项数据，观察条形高度与数量的一一对应 37

植树问题：间隔数与棵数

两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1 · 只栽一端：棵数 = 间隔数 拖动间隔长度，观察"两端都栽"时棵数与间隔数的关

38

小数乘除法：小数点位置的规律

积的小数位数 = 各因数小数位数之和 拖动两个因数，观察积的小数位数 = 两因数小数位 39

分数的意义与性质：约分与通分

分数基本性质：分子分母同乘/同除相同的非零数，分数值不变 拖动分子分母，观察分数值与约分、通分的关系 40

分数加减法：通分后相加减

异分母分数加减：先通分，再按同分母计算 拖动两个分数，观察通分后分母统一再计算 41

因数与倍数：质数与合数

质数：只有 1 和本身两个因数 · 合数：因数超过 2 个 · 1 既不是质数也 拖动数，观察它的因数个数，判断质数还是合数 42

简易方程：等式性质与解方程

等式两边同时加/减/乘/除同一个数，等式仍成立 拖动 x，观察天平两边何时平衡（左边 = 右边） 43

小数混合运算与简便计算

运算律对小数同样适用：凑整能大幅简化计算 拖动因数，观察凑整（凑成整数）如何简化计算 44

多边形的面积：平行四边形、三角形、梯形

平行四边形 = 底×高 · 三角形 = 底×高÷2 · 梯形 = (上底+下底) 拖动底和高，观察面积公式中"底×高"的作用 45

长方体和正方体：表面积与体积

表面积 = 2(ab+bc+ca) · 体积 = abc 拖动棱长，观察表面积与体积的变化规律 46

折线统计图：变化趋势

折线统计图善于反映数量的增减变化趋势 拖动各点数据，观察折线的升降反映的趋势

47

分数乘法：求一个数的几分之几

分数乘法：分子乘分子，分母乘分母，能约分先约分 拖动分子分母，观察"求几分之几"如何用乘法计算 48

分数除法：除以一个数等于乘它的倒数

a ÷ (b/c) = a × (c/b)，且 b ≠ 0 拖动分母，观察"除以一个数"与"乘倒数"结果一致 49

比和比例：正比例与反比例

正比例：y/x = k（商一定） · 反比例：xy = k（积一定） 拖动两个量，观察比值一定（正比例）与乘积一定（反 50

百分数：百分率与分数、小数的互化

小数 → 百分数：×100 加 % · 百分数 → 分数：除以 100 再约分 拖动数值，观察百分数、小数、分数三者的互化 51

百分数应用：折扣、纳税与利率

打折：现价 = 原价 × 折扣率 · 利息 = 本金 × 利率 × 时间 拖动折扣，观察"原价 × 折扣 = 现价"的计算 52

负数的应用：数轴上的比较与实际问题

两个负数比较：绝对值大的反而小 拖动 a、b，观察负数比较大小与数轴表示 53

圆：周长与面积

C = 2πr = πd · S = πr² 拖动宽高（近似边长），观察周长与面积的关系 54

圆柱与圆锥：侧面积、表面积与体积

V圆柱 = πr²h · V圆锥 = (1/3)πr²h（同底同高时圆柱是圆锥的 拖动底和高，观察圆柱与圆锥体积的 3 倍关系 55

比例尺与图形的放大缩小

实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 · 放大缩小形状不变，只改变大小 拖动宽高，观察图上距离与实际距离的换算 56

扇形统计图：部分与整体的百分比

扇形统计图反映部分与整体的百分比关系，各部分之和 = 100% 拖动各部分数量，观察各扇形占比与百分比之和为 1