数学 · 交互动图

1

双中点模型

MN = ½AB 线段 · 中点 2

双角平分线模型

∠MON = ½∠AOB 角 · 平分线 3

中垂线模型

PA = PB 垂直平分线 4

角分线模型

d₁ = d₂ 角平分线性质

5

两平行线间的拐点

∠APC = ∠A + ∠C 猪蹄模型 6

两平行线外的拐点

∠APC = ∠C − ∠A 铅笔头模型 7

平行线拐点加角平分线

∠AQC = ½∠APC 拐点 + 角平分线

8

高分模型

∠DAE = ½|∠B − ∠C| 高线 + 角平分线夹角 9

A字模型

α + β = 180° + ∠A 截线型 10

8字模型

∠A + ∠B = C + ∠D 对顶角型 11

飞镖模型

∠BDC = ∠A + ∠ABD + ∠ACD 凹四边形 12

三角形双角平分线模型

∠BPC = 90° + ½∠A 内心角 13

等分面积模型

S₁:S₂ = BD:DC 等高三角形 14

倍长中线模型

BE = AC 且 BE∥AC 中线延长全等 15

中位线模型

MN ∥ BC 且 MN = ½BC 中位线定理 16

逆等线模型

DF = EF 等腰三角形截线 17

奔驰模型

∠APB+∠BPC+∠CPA = 360° 三角形内点 18

维维亚尼模型

d₁+d₂+d₃ = 高 等边三角形内点 19

费马点模型

PA+PB+PC ≥ |CD| 120° 费马点 20

旁切圆模型

I到三边距离 = r_A 三角形旁切圆 21

A字相似模型

AD/AB = AE/AC = DE/BC 平行线截相似 22

8字相似模型

PA/PD = PC/PB = AC/BD X型相似 23

三角形内接四边形模型

s = a·h/(a+h) 内接正方形 24

母子模型

CD² = AD·DB 斜高母子相似 25

一线三等角相似模型

△ABC ∽ △CDE 三等角相似 26

手拉手相似模型

BD/CE = AB/AC 旋转位似 27

二倍角模型

DB=DC · AB²=AD·AC 角平分线+外角 28

12345模型

tan(α+β) = (n+m)/(nm−1) 网格拼角

29

一线三等角模型

△ABC ∽ △CDE K字三等高 30

手拉手模型

BD = CE 共顶点双等边 31

半角模型

EF = BE + DF 正方形45°半角 32

十字架模型

AE = BF 且 AE⊥BF 正方形十字 33

风车模型

EC = BG 且 EC⊥BG 双正方形手拉手 34

海盗埋宝模型

|CD| = √3·|AB| 且 CD⊥AB 双等边藏宝

35

中点四边形模型

EFGH 为平行四边形 · S=½S₀ 任意四边形中点 36

对边双中点四边形模型

EG、FH 互相平分 中点连线 37

垂美四边形模型

AB²+CD² = BC²+DA² 对角线垂直 38

翻折模型

BA′=BA · EA′=EA · ∠BA′E=90° 矩形折叠

39

圆周角定理

∠AOB = 2∠APB 圆心角与圆周角 40

婆罗摩笈多模型

CM = MD 圆内接+垂直对角线 41

对角互补模型

∠ABC + ∠ADC = 180° 共圆四边形 42

共斜模型

∠BAC = ∠BDC = 90° 共斜边双直角 43

平行弦模型

AC = BD 圆内平行弦 44

弓箭模型

弓内圆周角恒定 同弧圆周角 45

弦切角模型

弦切角 = ½弧 = 圆周角 切线与弦 46

阿基米德折弦模型

AF = FB + BC 弧中点垂足 47

圆幂定理模型

PA·PB = PC·PD = R²−OP² 相交弦 48

定边定角辅助圆模型

∠BAC ≡ α（A 在轨迹弧上） 隐圆轨迹 49

托勒密模型

AC·BD = AB·CD + BC·DA 圆内接四边形 50

阿氏圆模型

PA/PB ≡ k 阿波罗尼斯圆

51

弦图模型

c² = 4·½ab + (a−b)² 赵爽弦图 52

勾股树模型

每层面积和 = 底面积 分形勾股

53

将军饮马 · 两点一线

PA+PB ≥ |AB′| 轴对称展开 54

将军饮马 · 一点两线

周长 ≥ |P₁P₂| 双对称展开 55

将军饮马 · 两点两线

总长 ≥ |AB′| 两线双对称 56

将军饮马 · 两定点一定长

总长 ≥ |A₁′B|+d 平移+对称 57

将军饮马 · 三动点

PA+AB+BR ≥ |P′R′| 双对称折线 58

点圆最值模型

|OP|−R ≤ PQ ≤ |OP|+R 点与圆 59

线圆最值模型

PQ ≥ d(O,l) − R 线与圆 60

梯子模型

OM ≡ ½L 恒定 滑动梯子 61

蚂蚁爬行模型

√((rθ)²+h²) ≤ rθ+h 圆柱展开 62

定高定角模型

S ≡ ½·BC·h 恒定 定底定高 63

最大张角问题

∠APB ≤ ∠AP*B 切圆最大角 64

线段旋转面积模型

S = ½r²θ = ½lr 扇形扫面 65

瓜豆模型

|PO′| ≡ λR 主从联动轨迹 66

胡不归模型

PA+k·PB ≥ d(A,BM) 折线加权最值

1

点坐标特征

象限符号 · 三对称点 · 距离=|x|,|y| 象限判定 · 对称点互拖

2

正比例函数的图象与性质

y ÷ x ≡ k（过原点直线） 斜率三角形 · k 往返旋转 3

正比例函数 k 的大小比较

x=1 处 y₁−y₂ ≡ k₁−k₂ 双直线 · 高度差对比 4

一次函数的图象与性质

交 (0,b)、(−b/k,0) 恒在线上 k、b 双滑 · 象限增减 5

一次函数与不等式

kx+b>0 ⇔ x轴上方 · kx₀+b≡0 解集高亮 · 分界点扫描 6

一次函数的平移

左加右减 · 上加下减（斜率不变） 原图虚线 + 平移把手 7

一次函数的对称

x轴/y轴/原点 三模式系数映射 对称元素高亮 · P/P′ 验证

8

二次函数顶点式的图象与性质

y=a(x−h)²+k 顶点 (h,k) 三参联动 · 参考抛物线 9

二次函数的平移变换——顶点式

新顶点 = 原顶点 + (m,n) 直角路径 · a 不变 10

二次函数的平移变换——一般式

B=b−2m · C=c+m²−bm+n 先配方再平移 11

二次函数的对称变换——顶点式

顶点镜像 · |a| 不变 三模式 · P′ 代入恒成立 12

二次函数的对称变换——一般式

系数符号映射表 取样点滑动验证 13

抛物线与直线的公共点

Δ 判交点 · 韦达恒等 相交→相切→相离扫描

14

割补法

矩形−三直角 ≡ 鞋带公式 坐标三角形面积 15

等积法

同底等高 S ≡ ½·AB·h C 沿平行线滑动

16

等腰三角形存在性

两圆一线 · 最多 5 解 解析求全部解+绿圈标注 17

直角三角形存在性

两垂线一圆 · 最多 4 解 直径圆 Thales 18

平行四边形存在性

对角线互相平分 · 三候选 D=A+C−B 型公式 19

边邻角存在性

∠PAB=θ 双射线交点 已知边+邻定角 20

边对角存在性

∠APB=θ 辅助圆交点 定边定角隐圆

21

反比例函数的图象与性质

x·y ≡ k · 中心对称 双支曲线 · P 沿线滑 22

反比例函数与不等式

k/x>b ⇔ 图象在线上方 解集分类 · 交点 k/b 23

反比例函数 k 的几何意义——单k单点型

S矩形 ≡ |k| · S△ ≡ |k|/2 垂线矩形恒定 24

反比例函数 k 的几何意义——单k双点型

两矩形等积 · S₁=S₂ 蝴蝶形等积 25

反比例函数 k 的几何意义——双k型

同 x 处 y₁:y₂ ≡ k₁:k₂ 双曲线对比